Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）设出圆的一般式方程，利用曲线y=x²-6x+1与方程的对应关系，根据同一性求出参数，即可得到圆C的方程；
（II）设斜率为1的直线方程为x-y+a=0，圆C与直线x-y+a=0的交点于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．将直线与圆C方程消去y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理结合OA⊥OB建立关于x₁、x₂、a的方程组，解出a=-1即可得到存在斜率为1的直线满足题中的条件．

解答：解：（I）设圆C方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0．
在曲线y=x²-6x+1中令x=0，得y=1，则点（0，1）在圆C上，可得1+E+F=0（*）
再令y=0，可得方程x² -6x+1=0与x²+Dx+F=0是同一方程，得D=-6，F=1，
代入（*）解出E=-2，
∴圆C方程为x²+y²-6x-2y+1=0，即（x-3）²+（y-1）²=9
（Ⅱ）设斜率为1的直线方程为x-y+a=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足方程组
由

x-y+a=0 (x-3)2+(x-1)2=9

消去y，得方程2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0，
∴△=56-16a-4a²＞0．
利用根与系数的关系，得到x₁+x₂=4-a，x₁x₂=

1

2

（a²-2a+1）①，
若OA⊥OB，则可得x₁x₂+y_1^y2=0，
结合y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，代入可得2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0②
由①②联解可得a=-1，此时△=56-16a-4a²68＞0．
∴a=-1，得存在斜率为1的直线x-y-1=0，使其与圆C交于A、B两点满足OA⊥OB．

点评：本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法和函数方程思想，以及直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查解析几何中垂直问题的一般解题思路，属于中档题．