题目内容
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-
＜φ＜
）的图象与x轴交点为（-
，0），与此交点距离最小的最高点坐标为（
，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数f（x）满足方程f（x）=a（-1＜a＜0），求在[0，2π]内的所有实数根之和；
（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移
个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数y=g（x）的图象．若对任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在区间[0，
]上至多有一个解，求正数k的取值范围．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 12 |
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数f（x）满足方程f（x）=a（-1＜a＜0），求在[0，2π]内的所有实数根之和；
（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移
| 2π |
| 3 |
| 5π |
| 6 |
分析：（Ⅰ）由图象最高点得A，由周期T=4×（
+
）=π，可求ω，由f（-
）=0及-
＜φ＜
可得φ；
（Ⅱ）根据函数f（x）的周期可知方程f（x）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]内有4个实根，结合图象利用根的对称性可得所有实根之和；
（Ⅲ）根据图象变换得到g（x），作出|g（x）|的图象，结合图象利用伸缩变换可得图象应伸长的倍数，从而得到k的范围；
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（Ⅱ）根据函数f（x）的周期可知方程f（x）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]内有4个实根，结合图象利用根的对称性可得所有实根之和；
（Ⅲ）根据图象变换得到g（x），作出|g（x）|的图象，结合图象利用伸缩变换可得图象应伸长的倍数，从而得到k的范围；
解答：解：（Ⅰ）从图知，函数的最大值为1，则A=1，
函数f（x）的周期为T=4×（
+
）=π，而T=
，则ω=2，
又x=-
时，y=0，所以sin（2×（-
）+φ）=0，而-
＜φ＜
，则φ=
，
所以函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+
）；
（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x+
）的周期为π，
f（x）=sin（2x+
）在[0，2π]内恰有2个周期，并且方程sin（2x+
）=a（-1＜a＜0）在[0，2π]内有4个实根，
x1+x2=
π，x3+x4=
π，
故所有实数根之和为
π；
（Ⅲ）g（x）=2sin（x-
）+1，
函数y=|g（x）|的图象如图所示：
则当y=|g（x）|图象伸长为原来的5倍以上时符合题意，所以0＜k≤
．
函数f（x）的周期为T=4×（
| π |
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| π |
| 6 |
| 2π |
| ω |
又x=-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
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| π |
| 2 |
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| 3 |
所以函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+
| π |
| 3 |
（Ⅱ）因为f（x）=sin（2x+
| π |
| 3 |
f（x）=sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
x1+x2=
| 7 |
| 6 |
| 19 |
| 6 |
故所有实数根之和为
| 13 |
| 3 |
（Ⅲ）g（x）=2sin（x-
| π |
| 3 |
函数y=|g（x）|的图象如图所示：
则当y=|g（x）|图象伸长为原来的5倍以上时符合题意，所以0＜k≤
| 1 |
| 5 |
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定解析式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查函数方程思想、数形结合思想．
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