题目内容
过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|•|BF|的最小值是（ ）
分析：由抛物线y2=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，再依据抛物线的定义得出|AF|•|BF|=x1x2+x1+x2+1，由韦达定理可以求得答案．
解答：解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），
当斜率k存在时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
由
⇒k2x2-（2k2+4）x+k2=0．
设出A（x1，y1）、B（x2，y2）
则 x1+x2=
，x1x2=1．
依据抛物线的定义得出|AF|•|BF|=（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1，
∴|AF|•|BF|=
+2=4+
＞4．
当斜率k不存在时，|AF|•|BF|=2×2=4．
则|AF|•|BF|的最小值是4．
故选C．
当斜率k存在时，设直线AB的方程为y=k（x-1），
由
|
设出A（x1，y1）、B（x2，y2）
则 x1+x2=
| 2k2+4 |
| k2 |
依据抛物线的定义得出|AF|•|BF|=（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1，
∴|AF|•|BF|=
| 2k2+4 |
| k2 |
| 4 |
| k2 |
当斜率k不存在时，|AF|•|BF|=2×2=4．
则|AF|•|BF|的最小值是4．
故选C．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决问题的关键是联立抛物线方程与过其焦点的直线方程，利用韦达定理予以解决，属于基础题．需要注意对斜率不存在的情况加以研究．
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倾斜角为
的直线过抛物线y2=4x的焦点且与抛物线交于A，B两点，则|AB|=（ ）
| π |
| 4 |
A、
| ||
B、8
| ||
| C、16 | ||
| D、8 |
过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点O是坐标原点，若|AF|=5，则△AOB的面积为（ ）
| A、5 | ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|