Question

已知函数f(x)=2sin2ωx+2

3

sinωxsin(

π

2

-ωx)（ω＞0）的最小正周期为π．
（I）求ω的值；
（II）求函数f(x)在区间[0，

2π

3

]上的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据倍角公式和两角和公式，对函数进行化简，再利用T=

2π

2ω

，进而求得ω
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得函数f（x）的解析式，再根据正弦函数的单调性进而求得函数f（x）的范围．

解答：解：（I）f（x）=1-cos2ωx+2

3

sinωxcosωx
=1-cos2ωx+

3

sin2ωx （2分）
=

3

sin2ωx-cos2ωx+1=2sin（2ωx-

π

6

）+1 （5分）
因为函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0
∴

2π

2ω

=π，解得ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=2sin（2ωx-

π

6

）+1，
∵0≤x≤

2π

3

，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1．
∴0≤2sin（2ωx-

π

6

）+1≤3，
即f（x）的取值范围为[0，3]．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象，三角函数式恒等变形，三角函数的值域．公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方．