Question

如图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点，又过作轴的垂线交曲线于点，，以此类推，过点的切线 与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N）．

 (1) 求、及数列的通项公式；

 (2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式；

 (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：N.

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 解: 由，设直线的斜率为，则.

∴直线的方程为.令，得，           ……2分

∴， ∴.

∴.

∴直线的方程为.令，得.         ……4分

一般地，直线的方程为，

由于点在直线上，

∴.

∴数列是首项为，公差为的等差数列.

∴.                                              ……6分

（2）解：

            .       ……8分

（3）证明：.…10分

      ∴，.

 要证明，只要证明，即只要证明。 11分

      证法1：（数学归纳法）

①  当时，显然成立；

②  假设时，成立，

则当时，，

而.

∴.

∴.

这说明，时，不等式也成立.

由①②知不等式对一切N都成立.        ……14分

证法2:

           .

   ∴不等式对一切N都成立.        ……14分

证法3:令,

则,

当时, ,

∴函数在上单调递增.

∴当时, .

∵N,

∴, 即.

∴.

∴不等式对一切N都成立.  

【解析】略