题目内容

已知f（x）=3-4^x+2xln2，数列{a_n}满足： $数学公式$
（1）求f（x）在[ $数学公式$ ，0]上的最大值和最小值；
（2）用数学归纳法证明： $数学公式$ ．

（1）解：求导函数，可得f′（x）=（1-4^x）ln4
∵x∈[ $\text{[math]}$ ，0]，∴0＜1-4^x＜ $\text{[math]}$ ，∴f′（x）＞0
∴f（x）在[ $\text{[math]}$ ，0]上单调递增
∴f_max（x）=f（0）=2；f_min（x）=f（- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ -ln2；
（2）证明：①n=1时，结论成立；
②假设当n=k时，命题成立，即 $\text{[math]}$ ，
则n=k+1时，由（1）得 $\text{[math]}$ =f（a_k）∈（ $\text{[math]}$ -ln2，2）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，即n=k+1时命题成立
由①②可知， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最值；
（2）利用数学归纳法的证题步骤，关键证明n=k+1时，结论成立，需要利用归纳假设．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．