Question

（2013•广州一模）设函数f（x）的定义域为D．如果?x∈D，?y∈D，使

f(x)+f(y)

2

=C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C，给出下列四个函数
①y=x³；
②y=(

1

2

)x；
③y=lnx；
④y=2sinx+1，
则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据在其定义域上均值为1的函数的定义，逐一对四个函数列出方程，解出y关于x的表达式，其中①③④在其定义域内有解，②在其定义域内无解，从而得出正确答案．

解答：解：①对于函数y=x³，定义域为R，设x∈R，由

x3+y3

2

=1，得y³=2-x³，所以y=

3	2-x3

∈R，所以函数y=x³是定义域上均值为1的函数；
②对于y=(

1

2

)x，定义域为R，设x∈R，由

( 1 2 )x+( 1 2 )y

2

=1，得(

1

2

)y=2-(

1

2

)x，当x=-2时，2-(

1

2

)-2=-2，不存在实数y的值，使(

1

2

)y=-2，所以该函数不是定义域上均值为1的函数；
③对于函数y=lnx，定义域是（0，+∞），设x∈（0，+∞），由

lnx+lny

2

=1，得lny=2-lnx，则
y=e^2-lnx∈R，所以该函数是定义域上均值为1的函数；
④对于函数y=2sinx+1，定义域是R，设x∈R，由

2sinx+1+2siny+1

2

=1，得siny=-sinx，因为-sinx∈[-1，1]，
所以存在实数y，使得siny=-sinx，所以函数y=2sinx+1是定义域上均值为1的函数．
所以满足在其定义域上均值为1的函数的个数是3．
故选C．

点评：本题着重考查了函数的值域，属于基础题．熟练掌握各基本初等函数的定义域和值域是解决本题的关键．