Question

11．如图，某房子屋檐A点离地面15米．房子上另一点B离地面9米，而且A，B两点在同一铅垂线上，在离地面7米的C处看此房子，问水平距离离此房子多远时A，B的视角（∠ACB）最大？

Answer 1

分析 设C处离此房子x米时看A，B的视角（即∠ACB）最大，过C点作CD⊥AB于D点由图可知 AD=8，BD=2，CD=x，进而表示出tan∠BCD与tan∠ACD，利用两角和与差的正切函数公式表示出tan∠ACB，利用基本不等式求出视角最大时x的值即可．

解答 解：设C处离此房子x米时看A，B的视角（即∠ACB）最大．
过C点作CD⊥AB于D点由图可知 AD=8，BD=2，CD=x    …（3分）
在Rt△ACD中，tan∠ACD=$\frac{8}{x}$
在Rt△BCD中，tan∠BCD=$\frac{2}{x}$
∴tan∠ACB=tan（∠ACD-∠BCD）=$\frac{\frac{8}{x}-\frac{2}{x}}{1+\frac{8}{x}•\frac{2}{x}}$=$\frac{6}{x+\frac{16}{x}}$≤$\frac{3}{4}$   …（9分）
当且仅当x=$\frac{16}{x}$，即x=4时取等号     …（10分）
∴水平距离离房子4米时，视角最大．       …（12分）

点评 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．