Question

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且满足（2b-c）cosA=acosC．
（1）求A的大小；
（2）若a=2，求△ABC的面积的最大值，并指出此时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理，将题中等式化简得到2sinBcosA=sin（A+C），结合sinB=sin（A+C）且为正数，化简得cosA=

1

2

，即可求出A的大小；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，得到b²+c²-bc=4，结合基本不等式求出bc≤4，再用正弦定理的面积公式算出当且仅当b=c=2时，△ABC的面积的最大值为

3

，此时△ABC是等边三角形，即可得到本题答案．

解答：解：∵△ABC中，（2b-c）cosA=acosC．
∴由正弦定理，得（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC
化简整理，得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）
∵△ABC中，A+C=π-B，可得sinB=sin（A+C）
∴2sinBcosA=sinB，结合sinB＞0，将两边约去cosB
可得2cosA=1，cosA=

1

2

∵A∈（0，π），∴A=

π

3

；
（2）∵a=2，A=

π

3

∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得
4=b²+c²-2bccos

π

3

，即b²+c²-bc=4
∴b²+c²=4+bc≥2bc，可得bc≤4
又∵△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3

∴当且仅当b=c=2时，△ABC的面积的最大值为

3

，此时△ABC是等边三角形．

点评：本题给出三角形的边角关系式，求A的大小并依此求三角形面积的最大值．着重考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和基本不等式等知识，属于中档题．