Question

已知函数f（x）=elnx+（其中e是自然对数的底数，k为正数）
（I）若f（x）在x处取得极值，且x是f（x）的一个零点，求k的值；
（Ⅱ）若k∈（1，e]，求f（x）在区间[，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f'（x）=0求出x，代入f（x）=0求得k的值；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，根据k的范围得到导函数零点的范围，由导函数的零点对给出的区间分段，判出导函数在两区间段内的符号，得到原函数在区间[，1]上端点处取得最大值，通过比较两个端点值的大小得到答案．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）=elnx+，所以．
由已知得f'（x）=0，即，∴
又f（x）=0，即，∴k=1；
（Ⅱ），
∵1＜k≤e，∴，
由此得时，f（x）单调递减；时，f（x）单调递增．
故
又，当ek-e＞k，即时，．
当ek-e≤k，即时，f_max（x）=f（1）=k．
点评：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是比较端点值的大小，是中高档题．