Question

已知数列{a_n}满足：a₁=3，an+1=

3an-2

an

，n∈N*．
（Ⅰ）证明数列{

an-1

an-2

}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n（a_n+1-2），数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据已知条件求得

an+1-1 an+1-2

an-1 an-2

为定值，即可证明数列{

an-1

an-2

}为等比数列，再根据等比数列通项公式 的求法即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由前面求得的an的通项公式求出bn的通项公式，然后求出前n项和Sn的表达式，即可证明S_n＜2．

解答：证明：（Ⅰ）∵

an+1-1

an+1-2

=

3an-2 an -1

3an-2 an -2

=

2(an-1)

an-2

，又

a1-1

a1-2

=2≠0，
∴{

an-1

an-2

}等比数列，且公比为2，
∴

an-1

an-2

=2n，
解得an=

2n+1-1

2n-1

；
（Ⅱ）bn=an(an+1-2)=

2n+1-1

2n-1

(

2n+2-1

2n+1-1

-2)=

1

2n-1

，
∴当n≥2时，bn=

1

2n-1

=

1

2n-1+2n-1-1

＜

1

2n-1

Sn=b1+b2+b3++bn＜1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

=1+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1＜2

点评：本题主要考查了数列的递推公式以及数列与不等式的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，属于中档题．