Question

【题目】如图1所示，在中， ， ， ， 为的平分线，点在线段上， ．如图2所示，将沿折起，使得平面平面，连结，设点是的中点．

图1 图2

（1）求证： 平面；

（2）在图2中，若平面，其中为直线与平面的交点，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，证明，利用平面与平面垂直的性质证明平面；（2）过点作交于点,因为平面平面， 平面，所以平面,求得，利用棱锥的体积公式，即可求三棱锥的体积.

试题解析：（1）在题图1中，因为， ， ，所以．

因为为的平分线，所以，

所以．

又因为， ，所以

则，所以，即

在题图2中，因为平面平面，平面平面， 平面，

所以平面．

（2）在题图2中，因为平面， 平面，平面平面，

所以

因为点在线段上， ，点是的中点，所以

过点作交于点

因为平面平面， 平面，所以平面

由条件得

又 ，

所以三棱锥的体积为 ．

【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理及面面垂直的性质、棱锥的体积公式，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.