Question

3．实数a，b满足：①2b≥a²-4a；②b≤$\sqrt{4a-{a}^{2}}$；③（|a-2|+|b|-2）（|a-2|+|b|-3）≤0这三个条件，则|a-b-6|的范围是[$\frac{3}{2}$，4+2$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 根据题意，把条件转化为线性规划的约束条件，再求目标函数的最值，即可求出对应的取值范围．

解答 解：由题意，4-a²≥0，得0≤a≤4；
设a-2=x，b=y，则①②③式化为
$\left\{\begin{array}{l}{y≥{\frac{1}{2}x}^{2}-2}\\{y≤\sqrt{4{-x}^{2}}}\\{2≤|x|+|y|≤3}\end{array}\right.$，
画出图形，如图所示；
令t=|a-b-6|，则t=|x-y-4|，
所以y=x-4±t；
设y=x+m，利用相切可得2≤m≤2$\sqrt{2}$，-$\frac{5}{2}$≤m≤-2；
$\frac{3}{2}$≤t≤4+2$\sqrt{2}$，
即|a-b-6|的范围是[$\frac{3}{2}$，4+2$\sqrt{2}$]．
故答案为：[$\frac{3}{2}$，4+2$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想与线性规划的应用问题，是难题．