Question

已知数列{a_n}的各项均是正数，其前n项和为S_n，满足a_n+S_n=4．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=(

1

2-log2an

)2，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证当n≥2时，Tn＜

2n-1

n

．

Answer 1

分析：（1）由已知可得：a_n=4-S_n，所以当n=1时，a₁=2．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1所以可得2a_n=a_n-1，所以得到数列{a_n}等比数列，进而得到答案．
（2）结合（1）的结论得到bn=

1

n2

，所以T_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

．因为当n≥2时，有

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

成立，所以利用裂相求和的方法即可得到答案．

解答：解：（1）由题意可得：a_n=4-S_n，所以当n=1时，a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，所以2a_n=a_n-1，
所以数列{a_n}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列，
所以an=(

1

2

)n-2．
（2）因为bn=(

1

2-log2an

)2，所以由（1）可得bn=

1

n2

，所以T_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

．
当n≥2时，有

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

成立．
所以当n≥2时，

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

1

2×1

+

1

3×2

+…+

1

n(n-1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

．
所以1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

，
即当n≥2时，Tn＜

2n-1

n

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握求数列通项的方法与数列求和的方法，以及利用放缩法证明不等式的方法．