Question

已知函数f(x)=a(2cos2

x

2

+sinx)+b．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；．
（Ⅱ）当a＜0时，若x∈[0，π]，函数f（x）的值域是[3，4]，求实数a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角公式，可得2cos²

x

2

=cosx+1，代入f（x）化简并将a=1代入可得，f(x)=

2

sin(x+

π

4

)+1+b，由正弦函数的性质，分析可得答案，
（2）由（1）可得，f(x)=a(cosx+1+sinx)+b=

2

asin(x+

π

4

)+a+b，根据正弦函数的性质，求出其在[0，π]上的值域，与[3，4]对应，计算可得答案．

解答：解：（1）f(x)=a(cosx+1+sinx)+b=

2

asin(x+

π

4

)+a+b，
当a=1时，f(x)=

2

sin(x+

π

4

)+1+b．
∴当2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

   (k∈Z)时，f（x）是增函数，
所以函数f（x）的单调递增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]   (k∈Z)；
（Ⅱ）由x∈[0，π]得

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，∴-

2

2

≤sin(x+

π

4

)≤1．
因为a＜0，所以当sin(x+

π

4

)=1时，f（x）取最小值3，即

2

a+a+b=3    (1)
当sin(x+

π

4

)=-

2

2

时，f（x）取最大值4，即b=4
将b=4代入（1）式得a=1-

2

．

点评：本题考查二倍角公式的变形运用，注意从题目分析，寻找突破口，对公式变形化简．