Question

已知函数f（x）=log₂[

2

sin（2x-

π

3

）]．
（1）求函数的定义域；
（2）求满足f（x）=0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据对数函数的性质可知，要使函数有意义，真数需大于0，故令

2

sin（2x-

π

3

）＞0求得x的范围，即为函数的定义域．
（2）f（x）=0，即sin（2x-

π

3

）=

2

2

，进而根据正弦函数的性质求得x的解集．

解答：解：（1）令

2

sin（2x-

π

3

）＞0
∴sin（2x-

π

3

）＞0
∴2kπ＜2x-

π

3

＜2kπ+π，k∈Z?kπ+

π

6

＜x＜kπ+

2

3

π，k∈Z．
故函数的定义域为（kπ+

π

6

，kπ+

2

3

π），k∈Z．

（2）∵f（x）=0，
∴sin（2x-

π

3

）=

2

2

∴2x-

π

3

=2kπ+

π

4

或2kπ+

3

4

π，k∈Z?x=kπ+

7

24

π或x=kπ+

13

24

π，k∈Z，
故x的取值范围是{x|x=kπ+

7

24

π或x=kπ+

13

24

π，k∈Z}．

点评：本题主要考查了正弦函数的定义域和值域．考查了正弦函数的基础知识的综合运用．