Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0，问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：假设存在直线，设其方程为y=x+b，
解方程组，
得2x²+(2b+2)x+b²+4b-4=0，                                        ①
设A (x₁，y₁)， B (x₂，y₂)， 则x₁+x₂=-b-1，x₁x₂=，
∴y₁y₂=(x₁+b)(x₂+b)=x₁x₂+b(x₁+x₂)+b²=+b(-b-1)+b²=，
又OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴，
解得b=1或b=-4，
把b=1和b=-4分别代入①式，验证判别式均大于0，
故存在b=1或b=-4，
所以存在满足条件的直线方程x-y+1=0 或x-y-4=0。