Question

已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]，f（x）=x，那么在区间[-1，3]内，关于x的方程4f（x）=x+m（其中m为实常数）有四个不同的实根，则m的取值范围是________．

Answer 1

（0，1]
分析：利用函数的奇偶性和周期性可画出函数的图象，利用数形结合的思想解答．由已知需要先画出函数在[0，1]上的图象，再利用奇偶性画出在[-1，0]上的图象，利用周期性可画出在区间[-1，3]内的函数图象，即可解答本题．
解答：解：因为关于x的方程4f（x）=x+m有4个不同的根，
就是函数y=f（x）的图象与y=（x+m）的图象有4个不同的交点，
f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，
所以可以得到函数f（x）的图象
又因为y=（x+m）是一组斜率为的平行直线系，
在同一坐标系内画出它们的图象如图，
由图得y=（x+m）在过点A（3，1）的直线y=（x+1）和y=x中间时符合要求，
所以m的取值范围是0＜k≤1．
故答案为：（0，1]．
点评：本题考查根的个数的应用和数形结合思想的应用．数形结合的应用大致分两类：一是以形解数，即借助数的精确性，深刻性来讲述形的某些属性；二是以形辅数，即借助与形的直观性，形象性来揭示数之间的某种关系，用形作为探究解题途径，获得问题结果的重要工具．