Question

（2011•嘉定区三模）设复数z₁=sinα+i，z₂=m+（m-cosα）i，其中i为虚数单位，α∈[0，2π），m∈R，且z₁=z₂．
（1）求α的值；
（2）设t=cosα+isinα，求f（t）=1+t+t²+…+t^n-1（n∈N*）．

Answer 1

分析：（1）根据复数相等的条件：实部和虚部对应相等列出方程，再由两角差的正弦公式和α的范围，求出α的值；
（2）根据（1）求出的α值，分两种情况进行求解，再由i²=-1对n进分类讨论求解．

解答：解：（1）由题意知，z₁=sinα+i，z₂=m+（m-cosα）i，
∵z₁=z₂，∴m=sinα，m-cosα=1，即sinα-cosα=1，∴sin(α-

π

4

)=

2

2

，
由α∈[0，2π）得，α-

π

4

∈[-

π

4

 ， 

7π

4

)，
∴α-

π

4

=

π

4

或α-

π

4

=

3π

4

，即α=

π

2

或α=π．
（2）由题意知，t=cosα+isinα，f（t）=1+t+t²+…+t^n-1（n∈N*）
①当α=

π

2

时，t=i，∴f(t)=1+i+i2+…+in=

1-in

1-i

，
当n=4k（n∈N*）时，f（t）=0；当n=4k+1时，f（t）=1；当n∈N，n=4k+2时，f（t）=1+i；
当n=4k+3时，f（t）=i．
②当α=π时，t=-1，f(t)=1-1+1-1+…+(-1)n-1=

1-(-1)n

2

，
当n为奇数时，f（t）=1；当n为偶数时，f（t）=0．

点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，以及复数相等的条件应用，主要考查了分类讨论思想．