Question

已知定义域为R的函数f(x)=

-2x+b

2x+1+ a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性并加以证明；
（3）当t∈[-1，2]时，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用特殊值：f（0）=0且f（-1）=-f（1），建立关于a、b的等式并解得a=2，b=1，再将其代入函数表达式加以检验即可；
（2）根据单调性的定义，设x₁＜x₂，将f（x₁）与f（x₂）作差，再通分整理，可得这个差是一个正数，从而得到f（x₁）＞f（x₂），所以f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数；
（3）根据函数的单调性和奇偶性，将原不等式恒成立转化为关于t的一元二次不等式3t²-2t-k＞0恒成立，再利用一元二次不等式解法结合根的判别式，可求出k的取值范围．

解答：解：（1）因为f（x）是奇函数，函数的定义域为R，所以f（0）=

-20+b

2 + a

=0，可得b=1，
∴f(x)=

-2x+1

2x+1+ a

，取f（-1）=-f（1）得

-2-1+1

20+ a

=-

-21+1

22+ a

，解之得a=2
因此，f(x)=

-2x+1

2x+1+ 2

，满足f(-x)=

-2-x+1

2-x+1+ 2

=-

-2x+1

2x+1+ 2

=-f（x），符合题意
所以a=2，b=1
（2）由（1）得，f(x)=

-2x+1

2x+1+ 2

=-

1

2

+

2

2x+1

，设x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=-

1

2

+

2

2x1+1

-（-

1

2

+

2

2x2+1

）=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵y=2^x在实数集上是增函数且函数值恒大于0，
∴2x2-2x1＞0，2x1+1＞0且2x2+1＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是单调减函数
（3）∵f（x）是奇函数，
∴f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，等价于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
∴由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即对任意t∈R有：3t²-2t-k＞0，
∴△=4+12k＜0⇒k＜-

1

3

，即实数k的取值范围是（-∞，-

1

3

）．

点评：本题给出一个含有指数式的分式形式的函数，叫我们讨论它的单调性与奇偶性，着重考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了一元二次不等式恒成立问题等知识，属于中档题．