Question

如图，在多面体ABCDA₁E中，底面ABCD为正方形，AA₁⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，AA₁=2AB=4，且CE=λAA₁，A₁C⊥平面BED。

（1）求λ的值；
（2）求二面角A₁-BD-E的余弦值。

Answer 1

解：（1）以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，射线DC为y轴的正半轴，过D作平行于AA1的射线Dz为z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz， 依题设知D（0，0，0），B（2，2，0）， C（0，2，0），A1（2，0，4） ∵ ∴ ∴ ∵A1C⊥平面BED， ∴A1C⊥DE ∴ ∴ ∴。
（2）依题意可知是平面BED的一个法向量， 设向量n= （x，y，z）是平面DA1B的一个法向量 则 ∴2x+2y=0，2x+4z=0， 令z=1，则x=-2，y=2， ∴n=（-2，2，1） ∴。