Question

已知函数（其中，e是自然对数的底数）．

（Ⅰ）若，试判断函数在区间上的单调性；

（Ⅱ）若，当时，试比较与2的大小；

（Ⅲ）若函数有两个极值点，（），求k的取值范围，并证明．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函数在区间上是单调递减函数；（Ⅱ）；

（Ⅲ）实数k的取值范围是；证明详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求导，根据其符号即可得其单调性；（Ⅱ）当时，，通过导数可得其范围，从而得出与2的大小；（Ⅲ）函数有两个极值点，，则，是的两个根，即方程有两个根.接下来就研究函数图象特征，结合图象便可知取何值时，方程有两个根.

结合图象可知，函数的两个极值点，满足.

，这里面有两个变量，那么能否换掉一个呢？

由，得，利用这个关系式便可将换掉而只留：

，这样根据的范围，便可得，从而使问题得证.

试题解析：（Ⅰ）由可知，当时，由于，，

故函数在区间上是单调递减函数． 3分

（Ⅱ）当时，，则，  4分

令，，

由于，故，于是在为增函数， 6分

所以，即在恒成立，

从而在为增函数，故． 8分

（Ⅲ）函数有两个极值点，，则，是的两个根，

即方程有两个根，设，则，

当时，，函数单调递增且；

当时，，函数单调递增且；

当时，，函数单调递减且．

要使有两个根，只需．

故实数k的取值范围是． 10分

又由上可知函数的两个极值点，满足， 11分

由，得，

∴，

由于，故，

所以．                             14分

考点：1、导数的应用；2、不等关系.