Question

已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，且y=f（x+1）是奇函数，那么下列结论中错误的是（　　）

• A．f（1-x）+f（x+1）=0
• B．f′（x）（x-1）≥0
• C．f（x）（x-1）≥0
• D．

  lim

  x→0

  f（x）=f（0）

Answer 1

分析：由奇函数的图象的性质及图象变换的规律判断出A对；据函数的单调性与导函数的关系判断出B错；根据图象知当x＞1时，f（x）＞0，x-1＞0，得到f（x）（x-1）≥0；当x≤1时，f（x）≤0，x-1≤0，得到f（x）（x-1）≥0；判断出C对
由函数的图象知，f（x）是连续的，判断出D对；

解答：解：因为y=f（x+1）是奇函数，
所以y=f（x+1）的图象关于原点对称，
因为f（x）的图象是由y=f（x+1）的图象向右平移1个单位，
∴y=f（x）的图象关于（1，0）对称．
∴f（1-x）+f（1+x）=0，A正确；
∵f′（x）是函f（x）的导函数．
由函数的图象知，当x＞1时，函数先增后减，
∴f′（x）不恒大于0，
∴f′（x）（x-1）≥0不正确，所以B不对；
由图象知，当x＞1时，f（x）＞0，x-1＞0，所以f（x）（x-1）≥0；
当x≤1时，f（x）≤0，x-1≤0，所以f（x）（x-1）≥0；所以C对
由函数的图象知，f（x）是连续的，
所以

lim

x→0

f(x)=f(0)，所以D对；
由函数的图象知，故选B．

点评：本题考查函数图象的变换规律、函数的单调性与导函数符号的关系，属于基础题．