Question

【题目】已知函数f（x）＝（1﹣sinx）ex.

（1）求f（x）在区间（0，π）的极值；

（2）证明：函数g（x）＝f（x）﹣sinx﹣1在区间（﹣π，π）有且只有3个零点，且之和为0.

Answer 1

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）见解析

【解析】

（1）先对函数进行求导，再根据导函数的零点进行分类讨论即可；

（2）先求出0是的一个零点，然后判断出在上的单调性，结合第（1）问，得出在上的单调性，进而得出在只有一个零点；通过求，可以得到在上也只有一个零点；从而证明函数在区间有且只有3个零点，且之和为0.

（1）因为，

所以，

令，得，，从而，

当时，，，

所以，，从而单调递减；

当，，，

所以，，从而单调递增，

故在区间有极小值，无极大值；

（2）证明：因为，所以，从而是的一个零点；

令，则在区间单调递减，在区间单调递增，

所以在区间单调递减，在区间单调递增，

又，，

所以在区间有唯一的零点，记为，

又因为，

所以对于任意的，若，必有，

所以在区间有唯一的零点，

故在区间的零点为，0，，

所以在区间有且只有3个零点，且之和为0.