Question

已知定义在R上的偶函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，则满足f（x²-x-1）＜f（1）的实数x的取值范围是（　　）

A．（-1，2）

B．（0，1）

C．（-1，0）∪（0，1）

D．（-1，0）∪（1，2）

Answer 1

分析：根据题意，当x²-x-1为正数时，根据单调性可得0＜x²-x-1＜1；当x²-x-1为负数或零时，可得0≤-（x²-x-1）＜1．分别解关于x的不等式，取并集可得正确答案．

解答：解：∵定义在R上的偶函数f（x）为[0，+∞）上的增函数，
∴①当x²-x-1＞0，即x＜

1- 5

2

或x＞

1+ 5

2

时
不等式f（x²-x-1）＜f（1）可化为：x²-x-1＜1，解之得-1＜x＜2
结合大前提，可得-1＜x＜

1- 5

2

或

1+ 5

2

＜x＜2；
②当x²-x-1≤0，即

1- 5

2

≤x≤

1+ 5

2

时，
f（x²-x-1）＜f（1）即f（-x²+x+1）＜f（1），
∴-x²+x+1＜1，解之得x＜0或x＞1
结合大前提，可得

1- 5

2

≤x＜0或1＜x≤

1+ 5

2

综上所述，得x的取值范围是（-1，0）∪（1，2）

点评：本题给出抽象函数的单调性质和奇偶性，要我们解关于x的不等式，着重考查了函数的简单性质和一元二次不等式的解法等知识，属于基础题．