Question

若P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是抛物线y²=2px（p＞0）上的两个不同的点，则x1•x2=

p2

4

是P₁P₂过抛物线焦点的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：利用抛物线的方程求出焦点坐标；设出直线方程，联立直线与抛物线方程；利用韦达定理求出两个横坐标的乘积
由x1•x2=

p2

4

成立，判断直线是否过焦点；反之直线过焦点成立，判断x1•x2=

p2

4

是否成立，综合可得答案．

解答：解：抛物线的焦点为（

p

2

，0）
设直线的方程为x=my+b

x=my+b y2=2px

得y²-2pmy-2pb=0
∴y₁•y₂=-2pb
∴x1•x2=

y12y22

2p

=b2
①当x1•x2=

p2

4

所以有b=±

p

2

故直线不过焦点
②当直线过焦点时，即b=

p

2

所以x1•x2=

p2

4

所以x1•x2=

p2

4

是P₁P₂过抛物线焦点的必要不充分条件
故选B

点评：本题考查解决直线与圆锥曲线的位置关系常将方程联立用韦达定理、考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件．