题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；
（2）证明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C-PB-D的大小．
分析：方法一：
（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，利用三角形中位线的性质，可得PA∥EO，利用线面平行的判定可得结论；
（2）证明DE⊥PC，BC⊥平面PDC，DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，利用线面垂直的判定定理，可得PB⊥平面EFD；
（3）确定∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，利用正弦函数即可求解；
方法二：建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a
（1）连结AC，AC交BD于G，连结EG，证明
=2
，这表明PA∥EG，可得结论；
（2）利用向量的数量积公式，证明PB⊥DE，再利用线面垂直的判定定理，可得结论；
（3）确定∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，利用向量的夹角公式，即可解决．
（1）连结AC，AC交BD于O，连结EO，利用三角形中位线的性质，可得PA∥EO，利用线面平行的判定可得结论；
（2）证明DE⊥PC，BC⊥平面PDC，DE⊥平面PBC，可得DE⊥PB，利用线面垂直的判定定理，可得PB⊥平面EFD；
（3）确定∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，利用正弦函数即可求解；
方法二：建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a
（1）连结AC，AC交BD于G，连结EG，证明
| PA |
| EG |
（2）利用向量的数量积公式，证明PB⊥DE，再利用线面垂直的判定定理，可得结论；
（3）确定∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，利用向量的夹角公式，即可解决．
解答：
方法一：
（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
所以，PA∥平面EDB
（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE ②
由①和②推得DE⊥平面PBC
而PB?平面PBC，∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD
（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角
由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB
设正方形ABCD的边长为a，则PD=DC=a， BD=
aPB=
=
a，PC=
=
aDE=
PC=
a
在Rt△PDB中，DF=
=
=
a
在Rt△EFD中，sinEFD=
=
=
，∴∠EFD=
所以，二面角C-PB-D的大小为
；
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a
（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG
依题意得A(a， 0， 0)， P(0， 0， a)， E(0，
，
)
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为(
，
， 0)且
=(a， 0， -a)，
=(
， 0， -
)
∴
=2
，这表明PA∥EG
而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB
（2）证明；依题意得B（a，a，0），
=(a， a， -a)
又
=(0，
，
)，故
•
=0+
-
=0
∴PB⊥DE
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD
（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），
=λ
，则（x0，y0，z0-a）=λ（a，a，-a）
从而x0=λa，y0=λa，z0=（1-λ）a
所以
=(-x0，
-y0，
-z0)=(-λa，(
-λ)a， (λ-
)a)
由条件EF⊥PB知，
•
=0，即-λa2+(
-λ)a2-(λ-
)a2=0，解得λ=
∴点F的坐标为(
，
，
)，且
=(-
，
， -
)，
=(-
， -
， -
)
∴
•
=-
-
+
=0
即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角
∵
•
=
-
+
=
，且|
|=
=
a，|
|=
=
a，
∴cosEFD=
=
=
∴∠EFD=
所以，二面角C-PB-D的大小为
．
方法一：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
所以，PA∥平面EDB
（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，
∴DE⊥PC ①
同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE ②
由①和②推得DE⊥平面PBC
而PB?平面PBC，∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD
（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角
由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB
设正方形ABCD的边长为a，则PD=DC=a， BD=
| 2 |
| PD2+BD2 |
| 3 |
| PD2+DC2 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
在Rt△PDB中，DF=
| PD•BD |
| PB |
a•
| ||
|
| ||
| 3 |
在Rt△EFD中，sinEFD=
| DE |
| DF |
| ||||
|
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
所以，二面角C-PB-D的大小为
| π |
| 3 |
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a
（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG
依题意得A(a， 0， 0)， P(0， 0， a)， E(0，
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为(
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
| PA |
| EG |
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
∴
| PA |
| EG |
而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB
（2）证明；依题意得B（a，a，0），
| PB |
又
| DE |
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
| PB |
| DE |
| a2 |
| 2 |
| a2 |
| 2 |
∴PB⊥DE
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD
（3）解：设点F的坐标为（x0，y0，z0），
| PF |
| PB |
从而x0=λa，y0=λa，z0=（1-λ）a
所以
| FE |
| a |
| 2 |
| a |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由条件EF⊥PB知，
| FE |
| PB |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
∴点F的坐标为(
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
| FE |
| a |
| 3 |
| a |
| 6 |
| a |
| 6 |
| FD |
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
| 2a |
| 3 |
∴
| PB |
| FD |
| a2 |
| 3 |
| a2 |
| 3 |
| 2a2 |
| 3 |
即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角
∵
| FE |
| FD |
| a2 |
| 9 |
| a2 |
| 18 |
| a2 |
| 9 |
| a2 |
| 6 |
| FE |
|
| ||
| 6 |
| FD |
|
| ||
| 3 |
∴cosEFD=
| ||||
|
|
| ||||||||
|
| 1 |
| 2 |
∴∠EFD=
| π |
| 3 |
所以，二面角C-PB-D的大小为
| π |
| 3 |
点评：本题考查线面平行、线面垂直、考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
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