Question

【题目】已知无穷数列的前项中的最大项为，最小项为，设.

（1）若，求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和；

（3）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列.

Answer 1

【答案】（1）；（2），当时，；（3）证明见解析

【解析】

（1）利用数列的通项公式判断其增减性，从而确定，的表达式，进而求出数列的通项公式；

（2）由计算，时，数列单调递减，所以当时，，利用分组求和和错位相减法求和计算即可得到答案；

（3）设数列的公差为，则，讨论，三种情况，分别证明数列为等差数列即可.

（1）由得是递增数列，

所以，

所以.

（2）由得，

当，，即；

当，，即.

又，

所以，当时，，

所以，

当时，令，

则，即.

所以

.

综上所述，，当时，.

（3）设数列的公差为，

则，

由题意，

①，对任意都成立，

即，所以是递增数列.

所以，

所以，

所以数列是公差为的等差数列；

②当时，对任意都成立，

进面，

所以是递减数列.，

所以

所以数列是公差为的等差数列；

③当时，，

因为与中至少有一个为0，

所以二者都为0，进而可得数列为常数列，

综上所述，数列为等差数列.