Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=1，且对于任意n∈N₊都有na_n+1=2S_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，且数列{b_n}的前n项之和为T_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）法一：由na_n+1=2S_n，得当n≥2时，（n-1）a_n=2S_n-1，所以na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，故na_n+1=（n+1）a_n，由此能求出a_n．
法二：由na_n+1=2S_n及a_n+1=S_n+1-S_n，得nS_n+1=（n+2）S_n，故，由此能求出a_n．
（Ⅱ）依题意得，由此能够证明．
解答：解：（Ⅰ）解法一：由na_n+1=2S_n①
得当n≥2时，（n-1）a_n=2S_n-1②，
由①-②可得，na_n+1-（n-1）a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
所以na_n+1=（n+1）a_n，
即当n≥2时，，
所以，
将上面各式两边分别相乘得，，
即（n≥3），
又a₂=2S₁=2a₁=2，所以a_n=n（n≥3），
此结果也满足a₁，a₂，
故a_n=n对任意n∈N₊都成立．…（7分）
解法二：由na_n+1=2S_n及a_n+1=S_n+1-S_n，
得nS_n+1=（n+2）S_n，
即，
∴当n≥2时，（此式也适合S₁），
∴对任意正整数n均有，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（此式也适合a₁），
故a_n=n．…（7分）
（Ⅱ）依题意可得

∴．…（13分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法和不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．