Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足4cos2A-cos2(B+C)=

7

2

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若S△ABC=

15 3

4

，且5sinB=3sinC，求a、b、c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形内角和把cos2（B+C）转化成cos2A，把题设等式转化成关于cosA的一元二次方程求得cosA，进而根据A的范围求得A．
（Ⅱ）利用三角形面积公式求得bc的值，进而利用正弦定理把题设转化成b和c的关系，联立求得b和c，最后利用余弦定理求得a．

解答：解：（Ⅰ）∵A+B+C=π
∴4cos²A-cos2（B+C）=2（1+cosA）-cos2A=-2cos²A+2cosA+3=

7

2

∴cosA=

1

2

∵0＜A＜π，∴A=

π

3

（Ⅱ）∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bc•

3

2

=

15 3

4

∴bc=15
又5sinB=3sinC，根据正弦定理可得5b=3c，
由

bc=15 5b=3c

求得b=3，c=5
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=19，即a=

19

点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，正弦定理的应用和余弦定理的应用．考查了三角函数的基础知识的综合运用．