Question

9．已知函数f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（b≠2a且ab≠0）．
（1）证明：函数f（x）的导函数f′（x）在区间（-1，-$\frac{1}{3}$）内有唯一零点；
（2）根据a，b的不同取值情况，讨论函数f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，再根据零点的判定定理结合二次函数的性质判断即可；
（2）由f（x）=x[ax²+bx+（b-a）]，（a≠0），令g（x）=ax²+bx+（b-a），根据二次函数的性质判断出g（x）的零点个数即可．

解答 （1）证明：f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），（a≠0），
由f′（-1）=3a-2b+b-a=2a-b①，
由f′（-$\frac{1}{3}$）=3a•$\frac{1}{9}$+2b•（-$\frac{1}{3}$）+b-a=$\frac{1}{3}$（b-2a）②，
∵b≠2a
显然：f′（-1）•f′（-$\frac{1}{3}$）＜0，
∴函数f（x）的导函数f′（x）在区间（-1，-$\frac{1}{3}$）内有唯一零点；
（2）解：f（x）=ax³+bx²+（b-a）x
=x[ax²+bx+（b-a）]，（a≠0），
令g（x）=ax²+bx+（b-a），
△=b²-4a（b-a）=4a²-4ab+b²=（2a-b）²，
∵b≠2a，
∴△＞0，
∴g（x）有2个不相等的实数根，
∴函数f（x）有3个零点．

点评 本题考查了导数的应用，考查函数的零点问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．