Question

【题目】已知函数.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若方程在区间内有解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调增区间是，单调减区间是和.

（2）

【解析】

（1）将代入解析式，求出，利用导数与函数单调性的关系即可求解.

（2）由题意可知，其中，分类讨论或：当时，利用导数判断出函数的单调性，再利用零点存在性定理即可判断有解；当时，由，得，分类讨论当或，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值，根据最大值结合函数的单调性即可求解.

解：（1）由题意可得

则，

令，得，

当时，，所以单调递减；

当时，，所以单调递增；

当时，，所以单调递减；

所以函数的单调增区间是，

单调减区间是和.

（2）由题意可知，其中，

①当时，由于，得，故在上为增函数，

且，所以方程在有解；

②当时，由，得，（舍）.

（i）当，即时，

因为，所以，即，

故，所以在上为减函数，

所以，

所以此时方程在区间没有解；

（ii）当，即时，在上为增函数，

在上为减函数，所以当时，

方程在区间才有解，

而，

由，解得时，或（不合题意，舍去），

所以，当时，方程在区间有解；

综上，当时，方程在区间有解.