题目内容

椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1的焦点坐标为F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)短轴的一个端点为B，若|BF1|=2．
（1）求椭圆的方程．
（2）①直线y=kx+2交椭圆于A、B两点，求k的取值范围．②当k=1时，求
OA
•
OB
．
分析：（1）利用椭圆的标准方程和性质即可得出；
（2）把直线方程代入椭圆方程，利用判别式△＞0即可得到k的取值范围，再利用根与系数的关系和数量积运算即可得出数量积．
解答：解：（1）由c=
3
，a=2得b=
a2-c2
=1．
方程为
x2
4
+y2=1．
（2）①将y=kx+2代人得（4k2+1）x2+16kx+12=0
由△＞0，得256k2-48（4k2+1）＞0，解得k＜-
3
2
或k＞
3
2
．
（3）由（2）可得，当k=1时，5x2+16x+12=0．
x1+x2=-
16
5
，x1x2=
12
5
．
OA
•
OB
=x1x2+y1y2
=x1x2+（x1+2）（x2+2）
=2x1x2+2（x1+x2）+4
=
24
5
-
32
5
+4
=
12
5
．
点评：熟练掌握椭圆的标准方程和性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、判别式△＞0及与系数的关系、数量积运算等是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，求证：|AT|2=
1
2
|AF1||AF2|．
精英家教网如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b 
=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T．
设 A（x1，y1）、B（x2，y2）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的两点，O为坐标原点，向量
m
=(
x1
a
，
y1
b
)，
n
=(
x2
a
，
y2
b
)且
m
•
n
=0．
（1）若A点坐标为（a，0），求点B的坐标；
（2）设
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，证明点M在椭圆上；
（3）若点P、Q为椭圆 上的两点，且
PQ
∥
OB
，试问：线段PQ能否被直线OA平分？若能平分，请加以证明；若不能平分，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e=
2
2
，右准线方程为x=2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点F1的直线l与该椭圆交于M、N两点，且|
F2M
+
F2N
|=
2
26
3
，求直线l的方程．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网