Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求证：BE⊥CD；
（3）求BD与平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）证BE∥平面PAD，可先构建平面EBM，证明平面EBM∥平面APD，由面面平行，得到线面平行；
（2）取PD的中点F，连接FE，根据线面垂直的判定及性质，及等腰三角形性质，结合线面垂直的判定定理可得AF⊥平面PDC，又由BE∥AF，可得BE⊥平面PDC；
（3）证明AF⊥平面PCD，连接DE，则∠BDE为BD与平面PDC所成角．

解答：（1）证明：如图，取CD的中点M，连接EM、BM，则四边形ABMD为矩形
∴EM∥PD，BM∥AD；
又∵BM∩EM=M，
∴平面EBM∥平面APD；
而BE?平面EBM，
∴BE∥平面PAD；
（2）证明：取PD的中点F，连接FE，则FE∥DC，BE∥AF，
又∵DC⊥AD，DC⊥PA，
∴DC⊥平面PAD，
∴DC⊥AF，DC⊥PD，
∴EF⊥AF，
在Rt△PAD中，∵AD=AP，F为PD的中点，
∴AF⊥PD，又AF⊥EF且PD∩EF=F，
∴AF⊥平面PDC，又BE∥AF，
∴BE⊥平面PDC，
∴CD⊥BE；
（3）解：∵CD⊥AF，AF⊥PD，CD∩PD=D，
∴AF⊥平面PCD，
连接DE，则∠BDE为BD与平面PDC所成角．
在直角△BDE中，设AD=AB=a，则BE=AF=

3

2

a，BD=

2

a，∴sin∠BDE=

BE

BD

=

6

4

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查线面角，熟练掌握线面平行及线面垂直的判定定理是解答的关键．