Question

【题目】已知正整数满足，.令， ， .对任意的，记，其中，表示不超过实数的最大整数，表示集合中元素的个数.证明：

（1）；

（2）.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

显然，为奇数，为偶数，其中，为欧拉函数.

由欧拉定理，知对任意的，有

于是，对集合的任意子集有

.①

首先证明：，且均为奇数.

由，知集合在数轴上关于点对称，且、.

将集合中连续的正整数称为一段，则由的对称性知其可分成奇数段，每段中均有一个数属于集合，也有一个数属于集合.

则为奇数，且集合与关于对称，即.

故.

其次证明：对任意的，存在唯一的，使得.

考虑.

显然，.

若，则，矛盾.

故模两两不同余，其中恰有一个数模余1.

又，故集合中其余数可两两配对，每对的积模余1.

从而，.

取，则，且，.

再证明：中的数可两两配对，每对数的积模余1.即证明：对任意的 ，则.

否则，不妨设，即、，，.

设.则

，这与矛盾.

从而，.

最后，在式①中令得

.