Question

（本小题满分14分）

已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2．71828…是自然对数的底数）。

（I）求实数b的值；

（II）求函数f（x）的单调区间；

（III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（m<M），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由。

Answer 1

本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。

解：（I）由

（II）由（I）可得

从而

，故：

（1）当

（2）当

综上，当时，函数的单调递增区间为，

单调递减区间为（0，1）；

当时，函数的单调递增区间为（0，1），

单调递减区间为。

（III）当a=1时，

由（II）可得，当x在区间内变化时，的变化情况如下表：

		-	0	+
		单调递减	极小值1	单调递增	2

又的值域为[1，2]。

据经可得，若，则对每一个，直线y=t与曲线都有公

共点。

并且对每一个，直线与曲线都没有公共点。

综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个，直线y=t

与曲线都有公共点。