Question

已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）方程．有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在函数f（x）的图象上是否存在不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点的横坐标为x₀，有f′（x₀）=成立？若存在，请求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）．（2分）
若函数f（x）在（0，+∞）上递增，
则f′（x）≥0对x＞0恒成立，即对x＞0恒成立，
而当x＞0时，．
∴a≥1．
若函数f（x）在（0，+∞）上递减，
则f′（x）≤0对x＞0恒成立，即对x＞0恒成立，
这是不可能的．
综上，a≥1．
a的最小值为1．（6分）
（Ⅱ）由=0，
得：，
即：a=，令r（x）=，r′（x）==
得1-x-2lnx=0的根为1，
所以当0＜x＜1时，r′（x）＞0，则r（x）单调递增，
当x＞1时，r′（x）＜0，则r（x）单调递减，
所以r（x）在x=1处取到最大值r（1）=1，
又x→0时r（x）→0，又x→+∞时，r（x）→0，
所以要使y=与y=a有两个不同的交点，则有 0＜a＜1 …8分
（III）假设存在，不妨设0＜x₁＜x₂.=．（9分）
．
若k=f′（x₀），则，即，即．（*）（12分）
令，（0＜t＜1），
则＞0．∴u（t）在0＜t＜1上是增函数，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴（*）式不成立，与假设矛盾．∴k≠f′（x₀）．
因此，满足条件的x₀不存在．（16分）
分析：（I）求出导函数，令导函数大于等于0恒成立或小于等于0恒成立，分离出a，利用基本不等式求出a的范围，从而求出a的最小值．
（Ⅱ）由=0，得a=，令r（x）=，利用导数研究其单调性及最值，从而得出要使y=与y=a有两个不同的交点，求出实数a的取值范围；
（III）利用两点连线的斜率公式求出k并且化简k，求出f′（x₀）列出方程，通过换元构造新函数，通过导数判断出函数的单调性，求出最值，得到矛盾．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值、存在性问题等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．解决是否存在这种探索性的问题，常假设存在去求，若求出则存在，若求不出则不存在．