Question

（2012•资阳三模）如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧面AD₁⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，AA₁=2，A₁D=

3

，E、F分别是BC、AC₁的中点．
（I）求证：EF∥平面AA₁B₁B；
（II）求二面角C-A₁C₁-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形中位线性质，证明线线平行，可得面面平行，从而可得线面平行；
（Ⅱ）证明DA₁、DA、DC两两垂直，建立空间直角坐标系D-xyz，求出平面A₁C₁D的一个法向量

n1

=

DB

=(1，1，0)，平面ACC₁A₁的法向量为

n2

=（x，y，z），利用向量的夹角公式，即可求二面角C-A₁C₁-D的大小．

解答：（Ⅰ）证明：连接BD，交AC于O，则O是AC的中点，
∴OF∥CC₁，CC₁∥BB₁，∴OF∥BB₁，又OE∥AB，
∴平面OEF∥平面AA₁B₁B，又EF?平面OEF，
∴EF∥平面AA₁B₁B．（4分）
（Ⅱ）解：∵AD=1，AA₁=2，A1D=

3

，∴△AA₁D是直角三角形，且A₁D⊥AD，
∵侧面AD₁⊥平面ABCD，∴A₁D⊥平面ABCD，可知DA₁、DA、DC两两垂直．（6分）
分别以DA₁、DA、DC为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则
D（0，0，0），A（1，0，0），A1(0，0，

3

)，C（0，1，0），C1(-1，1，

3

)，B（1，1，0），
∴

DB

=(1，1，0)，

DA1

=(0，0，

3

)，

A1C1

=(-1，1，0)，

AC

=(-1，1，0)，

AA1

=(-1，0，

3

)，（8分）
由

DB

•

DA1

=0，

DB

•

A1C1

=0可得平面A₁C₁D的一个法向量

n1

=

DB

=(1，1，0)，
设平面ACC₁A₁的法向量为

n2

=（x，y，z），
由

n2 • AC =-x+y=0 n2 • AA1 =-x+ 3 z=0

，取

n2

=(

3

，

3

，1)，（10分）
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 | n2 ||

=

2 3

2 • 7

=

42

7

，
∴二面角C-A₁C₁-D的大小为arccos

42

7

．（12分）

点评：本题考查线面平行，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定方法，正确运用向量法解决空间角问题．