题目内容

已知数列{an}满足an+1 =1+
2
an
，a1=3，则
lim
n→∞
an=（　　）
分析：由题意推导数列{
an-2
an+1
}是一个等比数列，求出通项公式an，然后利用数列的极限的运算法则，求出数列的极限．
解答：解：∵
an-2
an+1
=
1+
2
an-1
-2
1+
2
an-1
+1
=-
an-1-2
2an-1+2
=-
1
2
•
an-1-2
an-1+1
．
∴{
an-2
an+1
}是一个首项为
a1-2
a1+1
=
1
4
，公比为-
1
2
的等比数列，
∴
an-2
an+1
=
1
4
•(-
1
2
)n-1，
∴an=
1
4
•(-
1
2
)n-1+2
1-
1
4
•(-
1
2
)n-1
，
∴
lim
n→∞
an=
lim
n→∞
1
4
•(-
1
2
)n-1+2
1-
1
4
•(-
1
2
)n-1
=
0+2
1-0
=2．
故选D．
点评：本题考查数列的极限，等比关系的确定，数列递推式的应用，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若数列{bn}满足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，试证明数列bn-1是等比数列；
（2）求数列{anbn}的前n项和Sn；
（3）数列{an-bn}是否存在最大项，如果存在求出，若不存在说明理由．
已知数列{an}满足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，不等式a1•a2•…an＜2•n！
（2012•北京模拟）已知数列{an}满足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通项公式an等于
2n-1
2n-1
．
已知数列{an}满足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k项的和S3k（用k，a表示）
已知数列{an}满足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1则{an}的通项公式
 
．

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