Question

已知函数f（x）=ax²+（a³-a）x+1在（-∞，-1]上递增，则a的取值范围是

-

3

≤a＜0

．

Answer 1

分析：函数f（x）=ax²+（a³-a）x+1在（-∞，-1]上递增，由二次函数的图象知此函数一定开口向下，且对称轴在区间的右侧，列出关于a的不等式，求解即可得．

解答：解：由题意，f（x）=ax²+（a³-a）x+1在（-∞，-1]上递增，
当a=0时，函数f（x）=1，不符合题意，舍去．

当a≠0时，

a＜0 - a3-a 2a ≥-1

，解得，-

3

≤a＜0，
综上知，a的取值范围是-

3

≤a＜0．
故答案为：-

3

≤a＜0．

点评：本题考点是函数单调性的性质，考查二次函数的性质与图象，本题由二次函数的图象转化为关于参数的不等式即可，由于二次项的系数带着字母，所以一般要对二次系数为0进行讨论，以确定一次函数时是否满足题意，此项漏掉讨论是此类题失分的一个重点，做题时要注意问题解析的完整性，考虑到每一种情况．