Question

（2013•眉山二模）如图所示，f（x）是定义在区间[-c，c]（c＞0）上的奇函数，令g（x）=af（x）+b，并有关于函数g（x）的四个论断：
①若a＞0，对于[-1，1]内的任意实数m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立；
②函数g（x）是奇函数的充要条件是b=0；
③?a∈R，g（x）的导函数g'（x）有两个零点．
④若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根；
其中所有正确结论的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：①需根据函数的单调性来进行判断；
②若b=0，则函数g（x）是奇函数，反之，也成立；
③由g（x）的极值点的个数，判断导函数g'（x）有多少个零点；
④此命题可由函数的图象及参数的取值范围进行判断．

解答：解：①由图象知，函数f（x）在区间[-1，1]上为增函数，故当a＞0时，g（x）=af（x）+b在[-1，1]上也为增函数
故对于[-1，1]内的任意实数m，n（m＜n），

g(n)-g(m)

n-m

＞0恒成立，故命题正确；
②当b=0时，则函数g（x）=af（x）是一个奇函数，反之，当是g（x）是奇函数时，由于g（x）=af（x）+b，则必有b=0；
③?a∈R，由g（x）的极值点有两个，判断导函数g'（x）有2个零点；
④由于本题中没有具体限定b的范围，故无法判断g（x）=0有几个根．综上①②③正确
故答案为①②③．

点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，求解本题的关键是对函数的图象变换的方式与系数的关系以及与所加的常数的关系的理解与运用．一般一个一个奇函数乘上一个数仍是奇函数，一个增函数乘上一个正数仍是增函数，一个函数加上一个常数，不改变其单调性，由这些结论即可保证正确做对本题．