题目内容

已知双曲线 $数学公式$ 的右准线 $数学公式$ 与两渐近线交于A，B两点，点F为右焦点，若以AB为直径的圆过F，则双曲线的离心率为________．

$\text{[math]}$
分析：首先根据双曲线的渐近线为y= $\text{[math]}$ 和右准线方程，得到右准线交两渐近线于A（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），B（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．从而AB= $\text{[math]}$ ，再根据以AB为直径的圆过右焦点F，得到焦点到右准线的距离等于AB的一半，建立关于a、b、c的等式，化简整理可得a=b，最后根据离心率的计算公式，可求出该双曲线的离心率．
解答：∵双曲线的方程为 $\text{[math]}$ ，
∴双曲线的两渐近线为y= $\text{[math]}$
因此，可得右准线 $\text{[math]}$ 交两渐近线于A（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），B（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
设右准线 $\text{[math]}$ 交x轴于点G（ $\text{[math]}$ ，0）
∵以AB为直径的圆过F，
∴AB=2GF，即 $\text{[math]}$ =2（c- $\text{[math]}$ ），化简得a=b，
∴双曲线的离心率为e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题给出双曲线的右准线与两渐近线交于A，B两点，且以AB为直径的圆过右焦点F，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本概念与简单几何性质，属于基础题．