Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数
（1）若f（x）=2f′（x），求的值；
（2）求函数F（x）=f（x）f'（x）+f²（x）的最大值和最小正周期．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=sinx+cosx=f′（x），
∴sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，
∴tanx=，
∴====．
（2）∵f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）
=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=1+sin（2x+）．
∴当2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时，F（x）_max=1+，最小正周期T==π．
分析：（1）由f（x）=sinx+cosx=2f′（x），可求得tanx，将转换为即可求得答案；
（2）利用导数公式与三角函数间的关系式将F（x）化为F（x）=1+sin（2x+），利用正弦函数的性质即可求其最大值和最小正周期．
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查三角函数间的关系式及正弦函数的性质，求得F（x）=1+sin（2x+）是关键，也是难点，属于中档题．