Question

如图，现在要在一块半径为1m．圆心角为60°的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP=θ．平行四边形MNPQ的面积为S．
（1）求S关于θ的函数关系式；
（2）求S的最大值及相应θ的值．

Answer 1

解：①分别过点P、Q作PD⊥OB，QE⊥OB，垂足分别为D、E，则四边形QEDP是矩形．
PD=sinθ，OD=cosθ．
在Rt△OEQ中，∠AOB= ，则OE= QE= PD．
所以MN=PQ=DE=OD﹣OE=cosθ﹣ sinθ．
则S=MN×PD=（cosθ﹣ sinθ）×sinθ=sinθcosθ﹣ sin²θ，θ∈（0， ）．
（2）S= sin2θ﹣ （1﹣cos2θ）= sin2θ+ cos2θ﹣ = sin（2θ+ ）﹣ ．
因为0＜θ＜ ，所以 ＜2θ+ ＜ ，
所以 ＜sin（2θ+ ）≤1．所以当2θ+ = ，即θ= 时，S的值最大为 m²．
即S的最大值是 m²，相应θ的值是 ．