题目内容

（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲

如图，相交于A、B两点，AB是的直径，过A点作的切线交于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与、交于C，D两点.

求证：（1）PA·PD=PE·PC；

（2）AD=AE

 

【答案】

见解析

【解析】(1)由切割线定理，易知,，所以可得.

(II) 连结、，易证AC是圆O2的切线，再结合（1）的结论,可得,从而证明,问题得证

（Ⅰ）分别是⊙的割线∴ 1    （2分）

又分别是⊙的切线和割线∴  2     （4分）

由1，2得                              （5分）

（Ⅱ）连结、，

设与相交于点

∵是⊙的直径，∴ 

∴是⊙的切线.      （6分）

由（Ⅰ）知，∴∥∴⊥, （8分）

又∵是⊙的切线，∴                                   

又，∴

∴                                                   （10分）

 

练习册系列答案
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（选做题）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-1：几何证明选讲]
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至点E．
求证：AD的延长线平分∠CDE
B．[选修4-2：矩阵与变换]
已知矩阵A=
12
-14

（1）求A的逆矩阵A-1；
（2）求A的特征值和特征向量．
C．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
3
2
t+1
（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．
D．[选修4-5，不等式选讲]（本小题满分10分）
设a，b，c均为正实数，求证：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．
本题包括（1）、（2）、（3）、（4）四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内答，
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）、选修4-1：几何证明选讲
如图，∠PAQ是直角，圆O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B，C．求证：BT平分∠OBA
（2）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
若点A（2，2）在矩阵M=
cosα-sinα
sinαcosα
对应变换的作用下得到的点为B（-2，2），求矩阵M的逆矩阵
（3）选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
在极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ-3=0上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0上的动点，求AB的最小值．
（4）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
已知a1，a2…an都是正数，且a1•a2…an=1，求证：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n．
必做题：（本小题满分10分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
已知an（n∈N*）是二项式（2+x）n的展开式中x的一次项的系数．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）是否存在等差数列{bn}，使an=b1cn1+b2cn2+b3cn3+…+bncnn对一切正整数n都成立？并证明你的结论．
（本小题满分10分）数学的美是令人惊异的！如三位数153，它满足153=13+53+33，即这个整数等于它各位上的数字的立方的和，我们称这样的数为“水仙花数”．请您设计一个算法，找出大于100，小于1000的所有“水仙花数”．
（1）用自然语言写出算法；
（2）画出流程图．
（选修4-2：矩阵与变换）（本小题满分10分）
求矩阵A=
32
21
的逆矩阵．

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