Question

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示．

(1)求函数的解析式；

(2)设0<x<π，且方程f(x)＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围以及这两个根的和．

Answer 1

解　(1)观察图象，得A＝2，T＝×＝π.

∴ω＝＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．

∵函数经过点，

∴2sin＝2，

即sin＝1.

又∵|φ|<，∴φ＝，

∴函数的解析式为f(x)＝2sin.

(2)∵0<x<π，∴f(x)＝m的根的情况，相当于f(x)＝2sin与g(x)＝m的交点个数情况，且0<x<π，∴在同一坐标系中画出y＝2sin和y＝m(m∈R)的图象．由图可知，当－2<m<1或1<m<2时，直线y＝m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．∴m的取值范围为－2<m<1或1<m<2；当－2<m<1时，此时两交点关于直线x＝π对称，两根和为π；当1<m<2时，此时两交点关于直线x＝对称，两根和为.