Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S₁＞1，且6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N*
（1）求{a_n}通项公式；
（2）设数列{b_n}满足an(2bn-1)=1，并记T_n为{b_n}的前n项和，求证：3Tn+1＞log2(an+3)，n∈N*．

Answer 1

分析：（1）由各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S₁＞1，且6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N*，知6S_n=an2+3a_n+2，由此利用迭代法能求出{a_n}通项公式．
（2）由an(2bn-1)=1，an=3n-1．n∈N*，知bn=log2

3n

3n-1

，故T_n=log2(

3

2

×

6

5

×

8

9

×…×

3n

3n-1

)，由此利用构造法能证明3Tn+1＞log2(an+3)，n∈N*．

解答：解：（1）∵各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S₁＞1，
且6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N*，
∴6S_n=an2+3a_n+2，①
当n≥2时，6Sn-1=an-12+3an-1+2，②
①-②，得：6an=an2-an-12+3an-3an-1，
∴3an+3an-1=an2-an-12，
∴3（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=3，n≥2，
当n=1时，6a1=a12+3a1+2，
解得a₁=1，或a₁=2，
∵S₁=a₁＞1，∴a₁=1，
∴数列{a_n}是以2为首项，以3为公差的等差数列，
∴an=3n-1．n∈N*．
（2）∵an(2bn-1)=1，an=3n-1．n∈N*，
∴bn=log2

3n

3n-1

，
∴T_n=log2(

3

2

×

6

5

×

8

9

×…×

3n

3n-1

)，
∵3Tn+1＞log2(an+3)，n∈N*，
∴3log2(

3

2

×

6

5

×

8

9

×…×

3n

3n-1

)+1＞log₂（3n+2），
∴log2

2( 3 2 × 6 5 × 9 8 ×…× 3n 3n-1 )3

3n+2

＞0，
令f（n）=

2( 3 2 × 6 5 × 9 8 ×…× 3n 3n-1 )

3n+2

，
则f（n+1）-f（n）＞0，
∴f（n）≥f（1）=

27

25

＞1，
∴3Tn+1＞log2(an+3)，n∈N*．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意迭代法和构造法的合理运用．