题目内容

在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2
2
的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）设圆心坐标为（m，n）（m＜0，n＞0），
则该圆的方程为（x-m）2+（y-n）2=8已知该圆与直线y=x相切，
那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
|m-n|
2
=2
2

即|m-n|=4①
又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入得m2+n2=8②
联立方程①和②组成方程组解得
m=-2
n=2

故圆的方程为（x+2）2+（y-2）2=8；
（2）|a|=5，∴a2=25，则椭圆的方程为
x2
25
+
y2
9
=1
其焦距c=
25-9
=4，右焦点为（4，0），那么|OF|=4．
通过联立两圆的方程
(x-4)2+y2=16
(x+2)2+(y-2)2=8
，解得x=
4
5
，y=
12
5
．
即存在异于原点的点Q（
4
5
，
12
5
），
使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长．
练习册系列答案
相关题目
如图，已知抛物线C：x2=2py（p＞0）与圆O：x2+y2=8相交于A、B两点，且
OA
•
OB
=0（O为坐标原点），直线l与圆O相切，切点在劣弧AB（含A、B两点）上，且与抛物线C相交于M、N两点，d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值时直线l的方程．
设椭圆C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）以F1、F2为左、右焦点，离心率e=
1
2
，一个短轴的端点（0，
3
）；抛物线C2：y2=4mx（m＞0），焦点为F2，椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P．
（1）求椭圆C1与抛物线C2的方程；
（2）直线l经过椭圆C1的右焦点F2与抛物线C2交于A1，A2两点，如果弦长|A1A2|等于△PF1F2的周长，求直线l的斜率．
[理]如图，已知动点A，B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的实线上运动，若AB∥x轴，点N的坐标为（1，0），则△ABN的周长l的取值范围是______．
[文]点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则P到直线y=x-2的距离的最小值是______．
直线y=x-1被y2=x截得的弦长为（　　）
A．3B．2
3
C．
10
D．4
已知椭圆C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的右顶点为P（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设抛物线C2：y=x2+h（h∈R）的焦点为F，过F点的直线l交抛物线与A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C2的切线交于Q点，且Q点在椭圆C1上，求△ABQ面积的最值，并求出取得最值时的抛物线C2的方程．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，左焦点为F，过原点的直线l交椭圆于M，N两点，△FMN面积的最大值为1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P，A，B是椭圆E上异于顶点的三点，Q（m，n）是单位圆x2+y2=1上任一点，使
OP
=m
OA
+n
OB
．
①求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
②求OA2+OB2的值．
在平面直角坐标系中，已知A（-2，0），B（2，0），P为平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为-
1
4
，记动点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）若点D（0，2），点M，N是曲线C上的两个动点，且
DM
=λ
DN
，求实数λ的取值范围．
已知抛物线的顶点在原点，焦点F与双曲线x2-
y2
4
=1的右顶点重合．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线l经过焦点F，且倾斜角为60°，与抛物线交于A、B两点，求：弦长|AB|．

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