Question

已知函数f（x）=e^x-1，直线l₁：x=1，l₂：y=e^t-1（t为常数，且0≤t≤1），直线l₁，l₂与函数f（x）的图象围成的封闭图形，以及直线l₂，y轴与函数f（x）的图象围成的封闭图形如图中阴影所示．当t变化时阴影部分的面积的最小值为

 

．

Answer 1

分析：由题意及图，可选用定积分求面积，由于阴影部分为两块，可求出函数f（x）=e^x-1与直线l₂：y=e^t-1（t为常数，且0≤t≤1）交点，确定出两部分相应函数的积分上下限，确定出被积函数，再由积分的运算求出面积的最值

解答：解：阴影部分面积为s（t）=（e^t-1）×t-∫₀^t（e^x-1）dx+∫_t¹（e^x-1）dx-（e^t-1）（1-t），
整理得s（t）=（e^t-1）×（2t-1）-∫₀^t（e^x-1）dx+∫_t¹（e^x-1）dx，
=2te^t-3e^t+e+1
∴s′（t）=2te^t-e^t，令s^′（t）=0得t=

1

2

，
则最小值为s（

1

2

）=(

e

-1)2．
故答案为(

e

-1)2．

点评：本题主要考查了定积分与导函数的应用问题，是一道综合题型，关键是求出目标函数．