Question

满足条件AB=2，AC=

2

BC的三角形ABC的面积的最大值是

 

．

Answer 1

分析：设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值．

解答：解：设BC=x，则AC=

2

x，
根据面积公式得S_△ABC=

1

2

AB•BCsinB
=

1

2

×2x

1-cos2B

，
根据余弦定理得cosB=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

4+x2-( 2 x)2

4x

=

4-x2

4x

，
代入上式得
S_△ABC=x

1-( 4-x2 4x )2

=

128-(x2-12)2 16

，
由三角形三边关系有

2 x+x＞2 x+2＞ 2 x

，
解得2

2

-2＜x＜2

2

+2．
故当x=2

3

时，S_△ABC取得最大值2

2

．

点评：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题．